Question

在直角坐标系xOy中，点P到两点F₁（0，-），F₂（0，）的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线y=kx+1与曲线C交于A、B两点．
（1）求出曲线C的方程；
（2）若k=1，求△AOB的面积；
（3）若⊥，求实数k的值．

Answer

【解析】
（1）设P（x，y），由题意可知，点P的轨迹是以F1（0，-），F2（0，）为焦点的椭圆，由题意可知，c=，a=2，由a2-b2=c2可求b，从而可求椭圆方程
（2）当k=1时，直线方程为y=x+1，联立椭圆与直线方程可求A，B，利用两点间距离公式可求AB，由点到直线的距离公式可求点O到直线L：y=x+1的距离d，代入面积公式S△AOB=可求
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，根据方程的根与系数关系可得，，由y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1可求，由题意可知，代入可求k
【解析】
（1）设P（x，y），由题意可知，点P的轨迹是以F1（0，-），F2（0，）为焦点的椭圆
由c=，2a=4即a=2
由a2-b2=c2可得，b=1
∴椭圆的方程为（4分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）
当k=1时，直线方程为y=x+1
联立可得5x2+2x-3=0
解方程可得，x=-1或x=
从而可得A（-1，0），B（6分）
∵点O到直线L：y=x+1的距离d=，，
S△AOB===（8分）
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）
联立方程可得，（4+k2）x2+2kx-3=0（10分）
则，，
∵
∴（12分）
∵A，B在直线y=kx+1上
∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1==（14分）
∴
∴4k2-1=0
∴（16分）