Question

已知a∈R，函数f（x）=x²（x-a）．
（1）若函数f（x）在区间内是减函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值h（a）．

Answer

（1）由f（x）=x3-ax2，知f'（x）=3x2-2ax．由函数f（x）在区间内是减函数，知f'（x）=3x2-2ax≤0在上恒成立．由此能求出实数a的取值范围．
（2）由，令f'（x）=0得．若a≤0，则当1≤x≤2时，f'（x）＞0，所以h（a）=f（1）=1-a；若，当1≤x≤2时，f'（x）＞0，所以h（a）=f（1）=1-a；若，时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．所以若a≥3，当1＜x＜2时，f'（x）＜0，所以h（a）=f（2）=8-4a．由此能得到结果．
（1）【解析】
∵f（x）=x3-ax2，
∴f'（x）=3x2-2ax．…（2分）
∵函数f（x）在区间内是减函数，
∴f'（x）=3x2-2ax≤0在上恒成立． 
 即在上恒成立，…（4分）
∵，
∴a≥1．故实数a的取值范围为[1，+∞）．…（6分）
（2）【解析】
∵，
令f'（x）=0得．…（8分）
①若a≤0，则当1≤x≤2时，f'（x）＞0，
所以f（x）在区间[1，2]上是增函数，
所以h（a）=f（1）=1-a．…（9分）
②若，即，
则当1≤x≤2时，f'（x）＞0，
所以f（x）在区间[1，2]上是增函数，
所以h（a）=f（1）=1-a…（10分）
③若，即，
则当时，f'（x）＜0；
当时，f'（x）＞0．
∴f（x）在上是减函数，在上是增函数．
∴．…（11分）
④若a≥3，即，
则当1＜x＜2时，f'（x）＜0，
所以f（x）在区间[1，2]上是减函数．
所以h（a）=f（2）=8-4a．…（12分）
综上…（14分）