Question

已知函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）及数列{a_n}．
使得2，f（a₁），f（a₂），…，f（a₁），2n+4构成等差数列（n=1，2，…）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前n项和为S_n，当0＜a＜1时，求；
（Ⅲ）若b_n=a_n•f（a_n），当a＞1时，试比较b_n与b_n+1的大小．

Answer

（Ⅰ）设等差数列的公差为d，则2n+4=2+[（n+2）-1]•d，故d=2，由此能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由a≠1，知，由，能求出求．
（Ⅲ）由bn=anf（an）=a2n+2（2n+2）＞0，知，由此能够推导出bn+1＞bn．
【解析】
（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
∵f（x）=logax（a＞0且a≠1），
2，f（a1），f（a2），…，f（a1），2n+4构成等差数列（n=1，2，…）．
∴2n+4=2+[（n+2）-1]•d，
∴d=2…（2分）
故f（an）=2+[（n+1）-1]×2=2n+2…（4分）
即f（an）=logaan=2n+2
∴an=a2n+2（a＞0且 a≠1）…（6分）
（Ⅱ）∵a≠1
∴…（8分）
∵，
∴0＜a＜1，
∴．…（10分）
（Ⅲ）∵bn=anf（an）=a2n+2（2n+2）＞0
因为a＞1且，
∴…（13分）
故bn+1＞bn…（16分）