Question

已知函数 的图象过点（2，2），它向左平移1个单位后所得的图象关于原点成中心对称．
（1）求f（x）的表达式；        （2）求函数f（x） 的单调区间．

Answer

（1）由f（2）=2可得a=2b+2=1，由g（x）=f（x+1）=得图象关于原点成中心对称．可得函数g（x）为奇函数，则g（-x）=-g（x），可求b，进而可求a，及函数的解析式
（2）由，利用导数判断函数的单调区间
【解析】
（1）由题意可得，
∴a+1=2（1+b）即a=2b+1
函数f（x）向左平移1个单位后所得的函数g（x）=f（x+1）=得图象关于原点成中心对称．
∴函数g（x）为奇函数，则g（-x）=-g（x）
∴即-x+b=-x-b
∴b=0，a=1
∴ 
（2）∵=
∴=
当x＞2或x＜0时，f′（x）＞0函数单调递增
当0＜x＜2且x≠1时，f′（x）＜0函数单调递减
∴函数的增区间为（2，+∞），（-∞，0）；减区间为（1，2），（0，1）