Question

函数f（x）=1-ax²（a＞0，x＞0），该函数图象在点P（x，1-ax²） 处的切线为l，设切线l 分别交x 轴和y 轴于两点M和N．
（1）将△MON （O 为坐标原点）的面积S 表示为x 的函数S（x）；
（2）若在x=1处，S（x）取得最小值，求此时a的值及S（x）的最小值；
（3）若记M点的坐标为M（m，0），函数y=f（x） 的图象与x轴交于点T（t，0），则m与t的大小关系如何？证明你的结论．

Answer

（1）根据道说的几何意义可得函数图象在点P（x，1-ax2） 处的切线的斜率为f′（x）=-2ax再由点斜式写出切线方程然后根据题意易得M，N的坐标再根据面积公式即可得解．
（2）在第一问的基础上可利用判断出s（x）的单调性然后根据单调性可得出S（x）的最小值以及取得最小值时a的值．
（3）求出t的值结合（1）得m=再结合t的值将m拆成和的形式在利用基本不等式进行放缩即可得解．
【解析】
（1）∵f（x）=1-ax2（a＞0，x＞0）
∴f′（x）=-2ax
∴f′（x）=-2ax
∴函数图象在点P（x，1-ax2） 处的切线为y-（1-ax2）=-2ax（x-x）即y=-2axx+1+ax2
∴M（，0），N（0.1+ax2）
∴=

（2）令
则
∴当0＜x＜时s′（x）＜0则s（x）单调递减
  当时s′（x）＞0则s（x）单调递增
∴=1 时，面积最小此时 
（3）由题意知t=
又∵m===
∴m≥t