Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AB=1，AA₁=AD=2．点E为AB中点．
（1）求三棱锥A₁-ADE的体积；
（2）求证：A₁D⊥平面ABC₁D₁；
（3）求证：BD₁∥平面A₁DE．

Answer

（1）根据AA1⊥底面ABCD，AA1=2，可知三棱锥A1-ADE的高，然后求出三角形ADE的面积，最后利用锥体的体积公式求出三棱锥A1-ADE的体积即可；
（2）欲证A1D⊥平面ABC1D1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A1D与平面ABC1D1内两相交直线垂直，而根据条件可知AB⊥A1D，AD1⊥A1D，又AD1∩AB=A，满足定理所需条件；
（3）欲证BD1∥平面A1DE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BD1与平面A1DE内一直线平行即可，根据中位线可知OE∥BD1，又OE⊂平面A1DE，BD1⊄平面A1DE，满足定理所需条件．
【解析】
（1）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
因为AB=1，E为AB的中点，所以，，
又因为AD=2，所以，（2分）
又AA1⊥底面ABCD，AA1=2，
所以，三棱锥A1-ADE的体积   ．（4分）
（2）因为AB⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，
所以AB⊥A1D．（6分）
因为ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D，（7分）
又AD1∩AB=A，所以A1D⊥平面ABC1D1．（9分）
（3）设AD1，A1D的交点为O，连接OE，
因为ADD1A1为正方形，所以O是AD1的中点，（10分）
在△AD1B中，OE为中位线，所以OE∥BD1，（11分）
又OE⊂平面A1DE，BD1⊄平面A1DE，（13分）
所以BD1∥平面A1DE．（14分）