Question

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中的底面是菱形，且∠DAB=∠A₁AB=∠A₁AD=60°，AD=1，AA₁=a，F为棱BB的中点，M为线段AC的中点．设=，=，=．试用向量法解下列问题：
（1）求证：直线MF∥平面ABCD；
（2）求证：直线MF⊥面A₁ACC₁；
（3）是否存在a，使平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的平面角是30°？如果存在，求出相应的a 值，如果不存在，请说明理由．（提示：可设出两面的交线）

Answer

（1）由：||=||=1，||=a，，，，=，=（），
=+，=（），==2，由此能证明直线MF∥平面ABCD．
（2）由=（）=0，=（）（）=0，知MF⊥AA1，MF⊥AC，AC和AA1是面ABCD内的相交直线，由此能证明直线MF⊥面A1ACC1．
（3）设平面AFC1与平面ABCD的交线为c，两平面有一个公共点A，故A在直线c上；MF在面AFC1内，直线MF∥平面ABCD，有MF∥直线c，由直线MF⊥面A1ACC1，直线AC和直线AC1在平面A1ACC1内，知平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角是∠C1AC由此能推导出不存在这样的a值，使平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角是30°．
（1）证明：||=||=1，
||=a，，
，（2分）
=，
=（），
=+，
=（），（3分）
==2，
DB在面ABCD内，MF在面ABCD外，
∴直线MF∥平面ABCD；（4分）
（2）证明：=（）=0，（5分）
=（）•（）=0，（6分）
∴MF⊥AA1，MF⊥AC，AC和AA1是面ABCD内的相交直线，
∴直线MF⊥面A1ACC1；（7分）
（3）【解析】
设平面AFC1与平面ABCD的交线为c，两平面有一个公共点A，
∴A在直线c上；MF在面AFC1内，直线MF∥平面ABCD，有MF∥直线c，
由2）知，直线MF⊥面A1ACC1，直线AC和直线AC1在平面A1ACC1内，
∴MF⊥AC1，MF⊥AC，因此，有AC1⊥直线c，AC⊥直线c，
平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角是∠C1AC，（10分）
假设存在这样的a，使∠C1AC=30°，
则cos30°=cos，
=
=（12分）
整理，得方程：4a2-3a+9=0，
△=（-3）2-4×4×9=9-4×4×9＜0，方程无解，（13分）
因此不存在这样的a值，
使平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角是30°（14分）