Question

已知函数f（x）=ln（1+x^x）-ax，其中a＞0
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）如果a∈（0，1），当a≥0时，不等式f（x）-m＜0的解集为空集，求实数m的取值范围；
（3）当x＞1时，若g（x）=f[ln（x-1）]+aln（x-1），试证明：对n∈N^*，当n≥2时，有．

Answer

（1）求出函数的导数，其中含有字母参数a，根据导数的零点讨论a的取值范围，可以得出f（x）的单调区间的两种情形；
（2）变量分离，将不等式f（x）-m＜0化为f（x）＜m，解集为空集，说明f（x）的最小值大于或等于m，再在（1）的单调性的基础上，讨论得出函数f（x）的最小值，即可求m的取值范围；
（3）当x＞1时，化g（x）为lnxg，问题转化为证：ln＜-1-2-3…-（n-1）=n-1-2…-（n-1）-n，再构造一个新的函数：h（t）=lnt-1+，t∈（0，1），利用导数得出h（t）为减函数，最后利用函数的极限，让t分别取、、、…、（n≥2），同向不等式迭加，最终得出要证的不等式成立．
【解析】
（1）∵f'（x）=∴
当a≥1时，f'（x）＜0，∴f（x）的递减区间为R
当0＜a＜1时，f'（x）＞0得：x＞lnf'（x）＜0得：x＜ln
∴f（x）的递增区间为（ln，+∞），递减区间为（-∞，ln）
（2）∵不等式f（x）＜m的解集为空集，即f（x）≥m在x∈[0，+∞）恒成立
又∵0＜a＜时，ln＜0，∴f（x）min=f（0）=ln2，∴m≤ln2
当≤a＜1时，由①可知：x=ln时，f（x）有极小值∴f（x）min=f（ln
∴m≤（a-1）ln（1-a）-alna
（3）当x＞1时，g（x）=f[ln（x-1）+aln（x-1）]=ln[1+eln（x-1）]-aln（x-1）+aln（x-1）=lnxg（
∴即证：ln＜-1-2-3…-（n-1）=n-1-2…-（n-1）-n
令h（t）=lnt-1+，t∈（0，1），
∴h'（t）=＜0
∴h（t）为减函数
∵h（t）=0，∴h（t）＞0，即：lnt＞1-
当t分别取、、、…、（n≥2）时有
：ln＞n-1-2-3-…-（n-1）-n
∴ln