Question

已知抛物线C的方程为x²=2py（p＞0），焦点F为 （0，1），点P（x₁，y₁）是抛物线上的任意一点，过点P作抛物线的切线交抛物线的准线l于点A（s，t）．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若x₁∈[1，4]，求s的取值范围．
（3）过点A作抛物线C的另一条切线AQ，其中Q（x₂，y₂）为切点，试问直线PQ是否恒过定点，若是，求出定点；若不是，请说明理由．

Answer

（1）由抛物线的焦点F（0，1）可求P，进而可求抛物线的方程
（2）由导数的几何意义可得过P的切线斜率，进而可求切线方程，在切线方程中，令y=-1可求S关于x1的函数，结合函数的单调性可求S的范围
（3）猜测直线PQ恒过点F（0，1），由题得，x1≠x2，要证点P、F、Q三点共线，只需证kPF=kQF，
（本题满分15分）
【解析】
（1）由抛物线的焦点F（0，1）可得p=2
故所求的抛物线的方程为x2=4y…（3分）
（2）由导数的几何意义可得过P的切线斜率．
∴切线方程为．
∵准线方程为y=-1． 
在切线方程中，令y=-1       …（5分）
可得．           …（7分）
又s在[1，4]单调递增
∴s的取值范围是-．…（10分）
（3）猜测直线PQ恒过点F（0，1）…（11分）
由题得，x1≠x2
要证点P、F、Q三点共线，只需证kPF=kQF，即证x1x2=-4…（13分）
由（2）知，同理得，故
∴=
∵x1≠x2
∴x1x2=-4
∵KPF=，====KPF
从而可知点P、F、Q三点共线，即直线PQ恒过点F（0，1）…（15分）