Question

“mn＜0”是方程“mx²+ny²=1表示双曲线”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

Answer

先证明充分性，把方程化为+=1，由“mn＜0”，可得、异号，可得方程表示双曲线，由此可得“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；再证必要性，先把方程化为+=1，由双曲线方程的形式可得、异号，进而可得mn＜0，由此可得“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得答案．
【解析】
若“mn＜0”，则m、n均不为0，方程mx2+ny2=1，可化为+=1，
若“mn＜0”，、异号，方程+=1中，两个分母异号，则其表示双曲线，
故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；
反之，若mx2+ny2=1表示双曲线，则其方程可化为+=1，
此时有、异号，则必有mn＜0，
故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；
综合可得：“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充要条件；
故选C．