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已知椭圆的离心率是,且经过点M(2,1),直线与椭圆相交于A,B两点. (1)求...

已知椭圆manfen5.com 满分网的离心率是manfen5.com 满分网,且经过点M(2,1),直线manfen5.com 满分网与椭圆相交于A,B两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)当m=-1时,求△MAB的面积;
(3)求△MAB的内心的横坐标.
(1)设椭圆的半焦距为c,利用椭圆的离心率是,可得a=2b,根据椭圆经过点M(2,1),可得,从而有a2=8,b2=2,故可求椭圆的方程为 (2)将直线代入椭圆方程得x2+2mx+2m2-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则当m=-1时,x1+x2=2,x1x2=-2,所以AB的长为,利用点到直线的距离公式可求得点M(2,1)到直线x-2y-2=0 的距离为,从而可求△MAB的面积. (3)设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,△MAB的内心是I,则,从而可知∠AMB的平分线MI垂直于x轴,故可△MAB的内心的横坐标. 【解析】 (1)设椭圆的半焦距为c ∵椭圆的离心率是,∴,∴a=2b 又椭圆经过点M(2,1),∴,解得a2=8,b2=2 ∴椭圆的方程为 (2)将直线代入椭圆方程得x2+2mx+2m2-4=0 令△=4m2-4(2m2-4)>0,∴-2<m<0 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4 当m=-1时,x1+x2=2,x1x2=-2,∴AB的长为 点M(2,1)到直线x-2y-2=0 的距离为 ∴△MAB的面积 (3)设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,△MAB的内心是I,则 ∵m<0,∴∠AMB的平分线MI垂直于x轴 ∴△MAB的内心的横坐标是2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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