Question

已知数列{a_n}中，a₂=a+2（a为常数），S_n为{a_n}的前n项和，且S_n是na_n与na的等差中项．
（Ⅰ）求a₁，a₃并归纳出a_n（不用证明）；
（Ⅱ）若b_n=3ⁿ且a=2，求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）由Sn是nan与na的等差中项．我们可能得到Sn、nan与na的关系式，从n=1依次代入整数值，再结合a2=a+2（a为常数），不难给出a1，a3；
（2）通过（1）可知an的表达式，若bn=3n且a=2，发现数列{an•bn}的通项是等差和等比的对应项相乘而得，因此可以用错位相减法来求出Tn前n项和的表达式，
【解析】
（1）a1=a，a3=a+4，【解析】
（1）由已知得 ，
当n=1时，
S1=a1则2a1=a1+a，
得a1=a．
当n=3时，S3=a1+a2+a3
则2（a1+a2+a3）=3（a3+a）
∴a3=a+4
由此可以归纳得：an=a+2（n-1）
（2）由（Ⅱ）可知an=a+2（n-1）=2n，bn=3n；an•bn=2n3n；
Tn=2•3+4•32+8•33+…+（2n-2）•3n-1+2n•3n．①
2Tn=2•22+4•23+…+4（n-1）•2n+4n•3n+1．②
②-①得 ，
所以数列{an•bn}的前n项和为