Question

设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，过椭圆内一点P（2，1）的直线交椭圆于A、B两点，，且P点恰为AB的中点．
（1）求直线AB的方程；
（2）求椭圆的方程．

Answer

（1）利用椭圆的离心率得到椭圆中参数a，b的关系，设出椭圆方程及两个交点坐标，代入椭圆方程，两式相减，利用点差法求出直线的斜率，求出直线的方程．
（2）将直线的方程代入椭圆方程，得到关于x的方程，利用韦达定理及弦长公式列出方程，求出椭圆中的参数，进一步求出椭圆的方程．
【解析】
设椭圆方程为
∵，
∴a2=4b2-----------------------------------------------2′
于是椭圆方程可化为x2+4y2=4b2
（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）
∴x12+4y12=4b2，x22+4y22=4b2
两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0
∵A、B中点为P（2，1），
∴x1+x2=4，y1+y2=2
代入上式得--------------------------------------------------------------------6′
即直线AB的斜率为
∴直线AB的方程为，即x+2y-4=0-----------------------8′
（2）把x+2y-4=0代入x2+4y2=4b2得x2-4x+8-2b2=0
由得
即
把x1+x2=4，x1x2=8-2b2代入得b2=3-------------------------------------------12′
∴a2=12
∴椭圆方程为------------------------------------------------------------------14′