Question

（文）已知动圆过定点P（0，1），且与定直线y=-1相切．
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点Q（0，-1）且以为方向向量的直线l与轨迹M相交于A、B两点．若∠APB为钝角，求直线l斜率的取值范围．

Answer

（1）由已知，动圆过定点P（0，1），且与定直线y=-1相切，可得圆心到定点P（0，1），及定直线y=-1的距离相等，根据抛物线的定义可得动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）直线l过点Q（0，-1），且以为方向向量，所以直线方程为y=kx-1，联立直线与抛物线方程，求出向量，的坐标，根据∠PDB为钝角，则，可构造关于k的不等式，进而得到直线l斜率的取值范围．
【解析】
（1）∵动圆过定点P（0，1），且与定直线y=-1相切
故圆心到点P（0，1）的距离等于半径，
且圆心到直线y=-1的距离等于半径，
即圆心到定点P（0，1），及定直线y=-1的距离相等
圆心轨迹M是以P（0，1）为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，
故它的方程是x2=4y------------------------------------------------5′
（2）直线l过点Q（0，-1），且以为方向向量，所以直线方程为y=kx-1，
代入x2=4y得x2-4kx+4=0，
由△=16k2-4×1×4＞0得k＜-1，或k＞1①-------------------------------------7′
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=4
所以，，∵∠PDB为钝角，∴
即x1x2+（y1-1）（y2-1）=x1x2+（kx1-2）（kx2-2）=（1+k2）x1x2-2k（x1+x2）+4＜0------------------------------------------------------------------10′
即4（1+k2）-2k×4k+4＜0，解得，或②------------------------------12′
由①②得，或-------------------------------------------------------------------------14′