Question

已知数列{log₂（a_n-1）}，（n∈N^*）为等差数列，且a₁=3，a₃=9．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）设等差数列{log2（an-1）}的公差为d．由a1=3，a3=9可得2（log22+d）=log22+log28，可求d，由等差数列的通项公式可求log2（an-1），进而可求an
（2）由（1）可得an=2n+1．利用分组求和，结合等比数列的求和公式可求Sn
【解析】
（1）设等差数列{log2（an-1）}的公差为d．
由a1=3，a3=9得，2（log22+d）=log22+log28，解得d=1．
所以log2（an-1）=1+（n-1）×1=n，
∴an=2n+1．
（2）∵an=2n+1．
∴Sn=a1+a2+…+an=（2+1）+（22+1）+…+（2n+1）
=（2+22+…+2n）+n==2n+1+n-2