Question

已知抛物线的方程为y²=4x，直线l过定点P（-2，1），斜率为k，若直线l与抛物线仅有一个公共点，则k=    ．

Answer

由题意可设直线方程为：y=k（x+2）+1，联立方程可得，，整理可得k2x2+（4k2+2k-4）x+4k2+4k+1=0（*）．直线与抛物线只有一个公共点⇔（*）没有根．k=0时，y=1符合题意；k≠0时，△=（4k2+2k-4）2-4k2（4k2+4k+1）=0．由此能求出k的值．
【解析】
由题意可设直线方程为：y=k（x+2）+1，
联立方程可得，，
整理可得k2x2+（4k2+2k-4）x+4k2+4k+1=0（*）
直线与抛物线只有一个公共点⇔（*）只有一个根
①k=0时，y=1符合题意
②k≠0时，△=（4k2+2k-4）2-4k2（4k2+4k+1）=0
整理，得2k2+k-1=0，
解得或k=-1．
综上可得，或k=-1或k=0．
故答案为：-1或0或．