Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，P分别为AD，A₁B₁，C₁C的中点．
（1）求证：BD₁⊥平面MNP；
（2）求A₁C与平面MNP所成角的余弦值．

Answer

（1）以D点坐标原点，DA，DC，DD1方向建立空间坐标系，利用向量法，可得BD1⊥MN，BD1⊥MP，进而由线面垂直的判定定理得到BD1⊥平面MNP
（2）根据（1）中结论，即为平面MNP的法向量，求出直线A1C的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到A1C与平面MNP所成角的余弦值．
【解析】
（1）以D点坐标原点，DA，DC，DD1方向建立空间坐标系，
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，
∵M，N，P分别为AD，A1B1，C1C的中点
∴B（2，2，0），D1（0，0，2），M（1，0，0），N（0，2，1），P（2，1，2）
则=（-2，-2，2），=（-1，2，1），=（1，1，2）
易得•=0，•=0，
即BD1⊥MN，BD1⊥MP
则BD1⊥平面MNP
（2）由（1）中结论，即为平面MNP的法向量
又由A1（2，0，2），C（0，2，0）
则=（-2，2，-2）
设A1C与平面MNP所成角为θ
则sinθ==
则cosθ=