Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1与时，都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若，求f（x）的单调区间和极值．

Answer

（1）因为函数在极值点处导数等于0，所以若f（x）在x=1与时，都取得极值，则f′（1）=0，f′（）=0，就可得到a，b的值．
（2）先由求出函数中的c扥值，再求导数，令导数大于0，解得x的范围是函数的增区间，令导数小于0，解得x的范围是函数的减区间，增区间与减区间的分界点为极值点，且当极值点左侧导数大于0，右侧导数小于0时取得极大值，当极值点左侧导数小于0，右侧导数大于0时取得极小值，再把x的值代入原函数求出极大值与极小值．
【解析】
（1）f′（x）=3x2+2ax+b，∵f（x）在x=1与时，都取得极值，
∴f′（1）=0，f′（）=0，即3×1+2a+b=0，3×+2a（）+b=0
解得
（2）由（1）知，f（x）=x3-x2-2x+c
∵，∴-1-+2+c=，解得c=1
∴f（x）=x3-x2-2x+1
又∵f′（x）=3x2-x-2，令f′（x）＞0，即3x2-x-2＞0，解得，x＜-，或x＞1，
令f′（x）＜0，即3x2-x-2＜0．解得，-＜x＜1
∴函数的增区间为 ；减区间为，
∴函数在x=-时又极大值为 ，在x=1时有极小值为-．