Question

已知函数．
（1）求f（x）的单调减区间；
（2）若f（x）在区间[-3，4]上的最小值为，求a的值．

Answer

（1）先求导函数，利用导数小于0，解不等式可求f（x）的单调减区间；
（2）由（1）可知函数的极值点，从而确定函数f（x）在区间[-3，4]上的单调性，将极小值与函数的端点函数值比较，即可求出f（x）在[-3，4]上的最小值，由此可求a的值．
【解析】
（1）∵f′（x）=-x2+2x+3，令f′（x）＜0，则-x2+2x+3＜0．
解得：x＜-1或x＞3．∴函数f（x）的单调减区间为（-∞，-1）和（3，+∞）．  …（6分）
（2）列表如下：

x -3 （-3，-1） -1 （-1，3） 3 （3，4） 4
f′（x） - + -
f（x）

∴f（x）在（-3，-1）和（3，4）上分别是减函数，在（-1，3）上是增函数．       …（8分）
又∵，
∴f（-1）＜f（4）．…（12分）
∴f（-1）是f（x）在[-3，4]上的最小值．
∴．解得a=4．…（14分）