Question

设函数f（x）=（x+1）²-2klnx．
（1）当k=1时，求函数f（x） 在点P（1，4）处的切线方程
（2）当k＜0时，求函数g（x）=f'（x）在区间（0，2]上的最小值．

Answer

（1）k=1，f（x）=（x+1）2-2lnx．则f′（x）=2x+2-．切线的斜率k=f′（1）=2+2-2=2，由此能求出函数f（x） 在点P（1，4）处的切线方程．
（2）因为g（x）=f'（x），分区间讨论k的取值并根据a+b≥2 当且仅当a=b时取等号的方法求出最小值即可．
【解析】
（1）k=1，f（x）=（x+1）2-2lnx．
则f′（x）=2x+2-．
∵k=f′（1）=2+2-2=2，
∴函数f（x） 在点P（1，4）处的切线方程为：
y-4=2（x-1），
整理得2x-y+2=0．
（2）当k＜0时，g（x）=f′（x）=．
g（x）=≥，
当且仅当x=时，上述“≥”中取“=”．
①若 ∈（0，2]，即当k∈[-4，0）时，
函数g（x）在区间（0，2]上的最小值为 ；
②若k＜-4，则 在（0，2]上为负恒成立，
故g（x）在区间（0，2]上为减函数，
于是g（x）在区间（0，2]上的最小值为g（2）=6-k．
综上所述，当k∈[-4，0）时，
函数g（x）在区间（0，2]上的最小值为 ；
当k＜-4时，函数g（x）在区间（0，2]上的最小值为6-k．