Question

过点F（1，0）的直线l交抛物线C：y²=4x于A，B两点．
（1）若|AB|=8，求直线l的方程；
（2）记抛物线C的准线为l，设OA，OB分别交l于M，N两点，△AOB与△MON的重心分别为G，H，求|GH|的最小值．

Answer

设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为x=ky+1，代入抛物线方程，根据方程的根与系数关系y1+y2，x1+x2=k（y1+y2）+2
（1）|AB|==8，代入可求k，进而可求直线方程
（2）由重心坐标公式可得，可求G
由直线OA的方程y=，与准线相交得M（-1，-）；直线OB的方程y=x，与准线相交得N（-1，-），从而可求H，而|GH|=xG-xH，利用二次函数的性质可求
【解析】
设直线l的方程为x=ky+1，代入C：y2=4x可得y2-4ky-4=0
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则y1+y2=4k，x1+x2=k（y1+y2）+2=4k2+2
（1）|AB|==4k2+2+2=8
∴k=±1
故直线l的方程为x±y-1=0
（2）由重心坐标公式可得，
∴G（）
直线OA的方程y=，与准线相交得M（-1，-）
直线OB的方程y=x，与准线相交得N（-1，-）
∴，==，故H（）
|GH|=xG-xH=即|GH|的最小值