Question

定义在R上的函数f （x）满足：如果对任意x₁，x₂∈R，都有，则称函数f （x）是R上的凹函数，已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0），
（1）当a=1时，试判断函数f （x）是否为凹函数，并说明理由；
（2）如果函数f （x）对任意的x∈[0，1]时，都有|f（x）|≤1，试求实数a的范围．

Answer

（1）先表示出函数f（x）的解析式，再根据凹函数定义即可验证．
（2）由|f（x）|≤1表示出关于a的不等式，再根据x的取值范围进行分析可得答案．
【解析】
（1）a=1时，函数f（x）是凹函数，
此时f（x）=x2+x，=（）2+（），[f（x1）+f（x2）]=[x12+x1+x22+x2]，
作差得到：2-[f（x1）+f（x2）]
=（）2+（）-（x12+x22）-（x1+x2）
=
==0，
即有[f（x1）+f（x2）]，
故知函数f（x）=x2+x为凹函数；
（2）由-1≤f（x）=ax2+x≤1，
则有
i）若x=0时，则a∈R恒成立，
ii）若x∈（0，1]时，有
∵0＜x≤1⇒．
∴当=1时，
所以0≥a≥-2．