Question

关于函数f（x）=sin²x-+，下面有四个结论，其中正确的为    ．
①f（x）为奇函数；②当x＞2008时，f（x）恒成立；③f（x）的最大值是；④f（x）的最小值是-．

Answer

根据题意：依次分析命题：①运用f（-x）和f（x）关系，判定函数的奇偶性；②取特殊值法，判定不等式是否成立；③④运用sin2x=进行转化，然后利用cos2x和（）|x|，求函数f（x）的最值，综合可得答案．
【解析】
y=f（x）的定义域为x∈R，且f（-x）=sin2（-x）-+=sin2x-+=f（x），则函数f（x）为偶函数，因此结论①错．
对于结论②，取特殊值当x=1000π时，x＞2008，sin21000π=0，且（）1000π＞0
∴f（1000π）=-（）1000π＜，因此结论②错．
又f（x）=-（）|x|+=1-cos2x-（）|x|，-1≤cos2x≤1，
∴-≤1-cos2x≤，（）|x|＞0
故1-cos2x-（）|x|＜，即结论③错．
而cos2x，（）|x|在x=0时同时取得最大值，
所以f（x）=1-cos2x-（）|x|在x=0时可取得最小值-，即结论④是正确的．
故答案为：④