Question

已知函数．
（I）求函数f（x）和g（x）的定义域；
（II）函数f（x）和g（x）是否具有奇偶性，并说明理由；
（III）证明函数g（x）在（-∞，0）上为增函数．

Answer

（1）根据分式函数及指数函数的定义域的判定，可知函数f（x）和g（x）的定义域；
（2）根据奇偶性的定义，由f（x）的定义域为{x|x≠1}可知函数f（x）为非奇非偶函数，判断g（-x）与g（x）之间的关系，即可判断函数g（x）的奇偶性；
（3）利用原始的定义进行证明，在（-∞，+∞）上任取x1，x2且x1＜x2，只要证g（x2）＞g（x1）就可以可，把x1和x2分别代入函数g （x）进行证明．
【解析】
（I），
∵2|x|-1≠0⇒x≠0又1-x≠0⇒x≠1
函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠1}
函数g（x）的定义域{x|x∈R且x≠0}…（5分）
（II）由f（x）的定义域为{x|x≠1}可知函数f（x）为非奇非偶函数，
又，
且函数g（x）的定义域{x|x∈R且x≠0}的定义域关于原点对称，
∴g（x）为偶函数…（10分）
（III）设x1，x2∈（-∞，0）且x1＜x2
，
∵x1，x2∈（-∞，0）且x1＜x2，
∴|x1|＞|x2|＞0
所以，，

根据函数单调性的定义知  函数g（x）在（-∞，0）上为增函数…（15分）