Question

如图，在三棱台ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，∠BAC=∠BC₁C=90°，A₁C₁=a，C₁B=2a．
（I）求证AB⊥平面AA₁C₁C；
（II）求证C₁C⊥平面ABC₁；
（III）求AC与BC₁所成的角．

Answer

（I）证明AB垂直平面AA1C1C内的两条相交直线AA1，AC，即可证明结论；
（II）只需证明C1C垂直平面ABC1内的两条相交直线AB，BC1，即可证明直线与平面垂直；
（III）连接A1B，说明AC与BC1所成的角是∠BC1A1（或它的补角）通过证明三角形A1C1B是直角三角形，即可求解AC与BC1所成的角．
【解析】
（I）∵侧棱AA1⊥平面ABC，
AB⊂平面ABC，∴AA1⊥AB，
又∵∠BAC=90°∴AB⊥AC，
AA1∩AC=A，
从而AB⊥平面AA1C1C…（4分）
（II）由（I）可知AB⊥平面AA1C1C，C1C⊂平面AA1C1C，
∴C1C⊥AB
又∵C1C⊥BC1并且AB∩BC1=B，
∴C1C⊥平面ABC1…（8分）
（III）连接A1B，∵AC∥A1C1∴AC与BC1所成的角是∠BC1A1（或它的补角）
∵A1C1⊥A1B1，A1C1⊥A1A，，A1A∩A1B1=A1，∴A1C1⊥平面A1ABB1
∵BA1⊂平面A1ABB1∴A1C1⊥A1B
在直角三角形A1C1B中，A1C1=a，C1B=2a
∠BC1A1=60°
即  异面直线AC与BC1所成的角为60°…（15分）