Question

数列{a_n}中，a₁=1，且a_n+1=2a_n+1，又设b_n=a_n+1
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设（n∈N*），求数列{c_n}的前n项的和S_n．

Answer

（1）直接对条件an+1=2an+1整理即可得到an+1+1=2（an+1）进而得到数列{bn}是等比数列；
（2）根据第一问的结论先求出数列{bn}通项公式；再结合bn=an+1即可求数列{an}的通项公式；
（3）先求出数列{cn}的通项公式，再利用乘公比错位相减法求和即可．
【解析】
（1）∵a1=1，且an+1=2an+1，bn=an+1
∴an+1+1=2（an+1）
∴=2，a1+1=2
∴数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）∵bn=2×2n-1=2n
∴an=bn-1=2n-1
（3）∵=．
∴Sn=+…+
∴Sn=…+
∴两式相减可得：Sn=+++…+=1+-=．
∴Sn=．