Question

如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、H分别是棱BB₁、CC₁、DD₁的中点．
（Ⅰ）求证：BH∥平面A₁EFD₁；
（Ⅱ）求直线AF与平面A₁EFD₁所成的角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）由已知容易证明BED1H为平行四边形，从而可得BH∥ED1，根据直线与平面平行的判定定理可证BH∥A1EFD1
（Ⅱ）过A作AG⊥A1E，垂足为G．由A1D1⊥平面A1ABB1可得A1D1⊥AG从而可证得AG⊥平面A1EFD1．则∠AFG为所求的角，从而可求AF与平面A1EFD1所成的角的正弦值
【解析】
（Ⅰ）证明：连接D1E，，BB1=DD1
∴BE∥HD1，BE=HD1，即BED1H为平行四边形
∴BH∥ED1
∵BH⊄平面A1EFD1，ED1⊂A1EFD1
∴BH∥A1EFD1（7分）
（Ⅱ）过A作AG⊥A1E，垂足为G．
∵A1D1⊥平面A1ABB1，AG⊆A1ABB1∴A1D1⊥AG，
EA1∩A1D1=A1∴AG⊥平面A1EFD1．
连接FG，则∠AFG为所求的角．（9分）
在△AA1G中，AG•EA1=AA1•AB
∴
连接AC则∴
∴
∴F与平面A1EFD1所成的角的正弦值为（14分）