Question

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A（0，）为圆心、1为半径的圆相切，又知双曲线C的一个焦点与点A关于直线y=x对称．
（1）求双曲线C的方程．
（2）设直线l：y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，求实数m的取值范围．

Answer

（1）根据两条渐近线与圆相切，可得双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．利用双曲线C的一个焦点为，可得a2=1，从而可求双曲线C的方程．
（2）直线与双曲线方程联立消去y，得到关于x的二次方程，进而根据直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根求得m的范围．
【解析】
（1）设双曲线C的一条渐近线方程为y=kx，则kx-y=0．
∵该直线与圆相切，
得：
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x，
故设双曲线C的方程为
又双曲线C的一个焦点为（，0），
∴2a2=2，a2=1，
∴双曲线C的方程为x2-y2=1
（2）由得（1-m2）x2-2mx-2=0
令f（x）=（1-m2）x2-2mx-2
∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等的实根．
∴
解得．
∴实数m的取值范围：．