Question

已知f（x）=x³+px²+qx的图象与x轴切于非原点的一点，y_极小值=-4，p，q的值分别为（ ）
A．6，9
B．9，6
C．4，2
D．8，6

Answer

设切点（a，0）（a≠0），f（x）=x（x2+px+q）．由题意得：方程x2+px+q=0有两个相等实根a，故可得f（x）=x（x-a）2=x3-2ax2+a2x，再利用y极小值=-4，可求a=-3，从而可求p，q的值．
【解析】
设切点（a，0）（a≠0），f（x）=x（x2+px+q）
由题意得：方程x2+px+q=0有两个相等实根a
故可得f（x）=x（x-a）2=x3-2ax2+a2x
f′（x）=3x2-4ax+a2=（x-a）（3x-a）
令f′（x）=0，则x=a或
∵f（a）=0≠-4，
∴
于是，
∴a=-3
∴f（x）=x3+6x2+9x
∴p=6，q=9
故选A．