Question

如图：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=4，AA₁=2，E、F分别是AB、BC的中点．
（1）求异面直线CD₁与B₁E所成角的余弦值．
（2）求二面角D-EF-B₁的大小．

Answer

（1）建立空间直角坐标系D-xyz，分别求出异面直线CD1与B1E的方向向量，代入向量夹角公式可得异面直线CD1与B1E所成角的余弦值．
（2）分别求出平面B1EF的法向量和平面EDF的法向量，代入向量夹角公式可得钝二面角D-EF-B1的大小．
【解析】
如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz
∴D（0，0，0），C（0，4，0），D1（0，0，2），
E（4，2，0），F（2，4，0），B1（4，4，2）
（1）∵，，
，
设异面直线CD1与B1E所成角为θ
∴
∴CD1与B1E所成角的余弦值为…（4分）
（2）设是平面B1EF的法向量．
∴
∴
∴
令y=1，可得
又∵DD1⊥平面EDF．
∴是平面EDF的法向量．
∴
∵D-EF-B1是钝角
∴二面角D-EF-B1的大小为…（8分）