Question

如图：四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，点P是平面ABCD外一点，且PB=2，在等腰直角三角形PAD中，Q是斜边AD的中点．
（1）求证：PQ⊥平面ABCD；
（2）求二面角Q-PB-D的大小；
（3）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB．

Answer

（1）由已知中四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，等腰直角三角形PAD中，Q是斜边AD的中点，由求出PB，QB，PQ值，由勾股定理可得PQ⊥QB，又由PQ⊥AD，由线面垂直的判定定理可得PQ⊥平面ABCD；
（2）建立空间直角坐标系Q-xyz，求出平面PBD的法向量，及平面PQB的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．
（3）连接AC，交QB于O点，连接OM，BM，QM，由线面平行的判定定理可得则需使PA∥OM，由PM=tPC，由平行线分线段成比例定理可得AO=tAC，由底面四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°可得答案．
证明：（1）∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PB=2，
∴QB=
又∵三角形PAD为等腰直角三角
∴PQ=1
，
又PQ⊥AD，AD∩QB=Q
故PQ⊥平面ABCD…（3分）
（2）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°
∴BQ⊥AD如图所示，建立空间直角坐标系Q-xyz
则
则=（0，，-1），=（-1，0，-1）
设是平面PBD的法向量，
则•=0，•=0，
即
令y=1，则
又∵x轴⊥平面PQB
∴是平面PQB的法向量，
∴
∵二面角Q-PB-D是锐角
∴二面角Q-PB-D的大小为…（6分）
（3）连接AC，交QB于O点，连接OM，BM，QM
若使得PA∥平面MQB
则需使PA∥OM
∵PM=tPC
∴AO=tAC
在菱形ABCD中，
可得…．（10分）