Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为．
（1）证明：直线A₁B∥平面CDD₁C₁；
（2）求棱A₁A的长；
（3）求经过A₁，C₁，B，D四点的球的表面积．

Answer

（1）如图，连接D1C，已知ABCD-A1B1C1D1是长方体，可证四边形A1BCD1是平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
（2）设A1A=h，已知几何体ABCD-A1C1D1的体积为，利用等体积法VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1，进行求解．
（3）连接D1B，设D1B的中点为O，连OA1，OC1，OD，利用公式S球=4π×（OD1）2，进行求解．
【解析】
（1）证明：法一：如图，连接D1C，
∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，
∴A1D1∥BC且A1D1=BC．
∴四边形A1BCD1是平行四边形．
∴A1B∥D1C．
∵A1B⊄平面CDD1C1，D1C⊂平面CDD1C1，
∴A1B∥平面CDD1C1．
法二：∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，
∴平面A1AB∥平面CDD1C1．
∵A1B⊂平面A1AB，A1B⊄平面CDD1C1．
∴A1B∥平面CDD1C1．

（2）设A1A=h，∵几何体ABCD-A1C1D1的体积为，
∴VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=，
即SABCD×h-×S△A1B1C1×h=，
即2×2×h-××2×2×h=，解得h=4．
∴A1A的长为4．

（3）如图，连接D1B，设D1B的中点为O，连OA1，OC1，OD．
∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，∴A1D1⊥平面A1AB．
∵A1B⊂平面A1AB，∴A1D1⊥A1B．
∴OA1=D1B．同理OD=OC1=D1B．
∴OA1=OD=OC1=OB．
∴经过A1，C1，B，D四点的球的球心为点O．
∵D1B2=A1D12+A1A2+AB2=22+42+22=24．
∴S球=4π×（OD1）2=4π×（）2=π×D1B2=24π．
故经过A1，C1，B，D四点的球的表面积为24π．