Question

如图是边长为1的正三角形ABC沿垂直于平面ABC的方向平移距离1所得的图形，M是底面BC边的中点．
（1）求二面角B₁-AM-B的大小；
（2）证明：直线A₁C∥平面MAB₁；
（3）求直线A₁C到平面MAB₁的距离．

Answer

（1）先找出二面角B1-AM-B的平面角．根据△ABC是正三角形，M是BC边的中点，可得AM⊥BC，利用BB1⊥底面ABC，所以B1M⊥AM，从而∠B1MB为二面角B1-AM-B的平面角，故可求．
（2）证明线面平行的关键是证明直线A1C平行于平面MB1A内的一条直线．设O是A1B与B1A的交点，证明A1C∥OM即可；
（3）先证明平面MAB1⊥平面CB1，过点C作CE⊥B1M于E，则CE⊥平面MAB1，从而线段CE的长即直线A1C到平面MAB1的距离，由△CME∽△BMB1，即可求出直线A1C到平面MAB1的距离，
（1）【解析】
依题意  
∵△ABC是正三角形，M是BC边的中点
∴AM⊥BC，
又BB1⊥底面ABC，所以B1M⊥AM
∴∠B1MB为二面角B1-AM-B的平面角
在Rt△B1MB中，BB1=1，BM=
∴tan∠B1MB==2，
∴二面角B1-AM-B的大小等于arctan2．
（2）证明：正三棱柱的侧面是正方形，设O是A1B与B1A的交点，则O是A1B的中点，
连接OM，
∵M是底面BC边的中点，所以A1C∥OM，
∵OM⊂平面MAB1，A1C⊄平面MB1A
所以直线A1C∥平面MB1A
（3）【解析】
∵AM⊥BC，AM⊥BB1，BC∩BB1=B
∴AM⊥平面CB1，
∵AM⊂平面MA B1
所以平面MAB1⊥平面CB1
过点C作CE⊥B1M于E，则CE⊥平面MAB1
∵直线A1C∥平面MAB1，
所以线段CE的长即直线A1C到平面MAB1的距离，
∵∠B1BM=∠E，∠B1MB=∠CME
∴△CME∽△BMB1，
∴CE=
∴直线A1C到平面MAB1的距离