Question

在直角坐标系内，△ABC的两个顶点C、A的坐标分别为（-，三个内角A、B、C满足2sinB=．
（1）求顶点B的轨迹方程；
（2）过点C做倾斜角为θ的直线与顶点B的轨迹交于P、Q两点，当θ∈（0，时，求△APQ面积的最大值．

Answer

（1）由2sinB=，根据正弦定理得2b=，结合b=2，可得a+c=4由椭圆定义知顶点B的轨迹为椭圆，可求
（2）设PQ方程为y=tanθ（x+）联立直线与椭圆方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2），根据方程的根与系数关系可求得x1+x1，x1x2，然后可求|PQ|及点A到PQ的距离d，代入可求△ABC的面积，由基本不等式可求最大值
【解析】
（1）因为2sinB=，根据正弦定理得2b=
又b=2，所以a+c=4由椭圆定义知顶点B的轨迹为椭圆，其方程为
（2）设PQ方程为y=tanθ（x+），θ∈（0，
由得（1+4tan2θ）x2+8xtan2θ+12tan2θ-4=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，
又|PQ|=，点A到PQ的距离d=，θ∈（0，
S△ABC=≤2
当且仅当时取等号，△APQ的最大面积为2．