Question

如图，在三棱锥P-ABC中，，O，E，F分别是AC，PC，BC的中点，且OP⊥平面ABC．
（1）求证：OE∥平面PAB；
（2）求证：BC⊥平面PFO；
（3）设直线OE与平面PBC所成角为α，求sinα．

Answer

（1）直接根据O，E分别是AC，PC的中点得到OE∥PA；即可得到OE∥平面PAB；
（2）先根据中线得到OF∥AB推出OF⊥BC；再结合OP⊥平面ABC得到OP⊥BC即可得到BC⊥平面PFO；
（3）先由BC⊥平面PFO得到平面PBC⊥平面PFO，再作OH⊥PF与H，连EH，即可得∠OEH就是直线OE与平面PBC所成角；然后通过求三角形的边长即可求出结论．
证：（1）：∵O，E分别是AC，PC的中点，
∴OE∥PA；
又OE不在平面PAB内，PA⊂平面PAB，
∴OE∥平面PAB．
（2）：∵O，F分别是AC，BC的中点
∴OF∥AB，
又∵∠ABC=90°，
∴OF⊥BC，
∵OP⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴OP⊥BC，又OF∩OP=O
∴BC⊥平面PFO
（3）：由（2）知BC⊥平面PFO，
BC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PFO，
作OH⊥PF与H，连EH，
∵平面PBC∩平面PFO=PF，
∴OH⊥平面PBC，
∴∠OEH就是直线OE与平面PBC所成角，即为α．
不妨设PA=4，得OE=PA=2．
在RT△POF中，PO=，OF=1，PF=．
∴OH==．
∴sinα==．