Question

已知函数f（x）=x²+2x+alnx（a∈R）．
（1）当时a=-4时，求f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）当a=4时，f（x）=x2+2x-4lnx，x＞0.，由此能求出f（x）的极小值．
（2）由f（x）=x2+2x+alnx（a∈R），知，设g（x）=2x2+2x+a，由函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，能求出实数a的取值范围．
【解析】
（1）当a=4时，f（x）=x2+2x-4lnx，x＞0
，
令f′（x）=0，得x=-2（舍），或x=1，
列表，得

 x （0，1） 1  （1，+∞） 
 f′（x） -  0 +
 f（x） ↓  极小值 ↑

∴f（x）的极小值f（1）=1+2-4ln1=3，
∵f（x）=x2+2x-4lnx，x＞0只有一个极小值，
∴当x=1时，函数f（x）取最小值3．
（2）∵f（x）=x2+2x+alnx（a∈R），
∴，（x＞0），
设g（x）=2x2+2x+a，
∵函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，
∴g（0）≥0，或g（1）≤0，
∴a≥0，或2+2+a≤0，
∴实数a的取值范围是{a|a≥0，或a≤-4}．