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如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的,其中A...

manfen5.com 满分网如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.
(Ⅰ)求BF的长;
(Ⅱ)求点C到平面AEC1F的距离.
解法1: (1)因为多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的,所以AF∥EC1,AE∥FC1,过E作EH∥BC交CC1于H,则CH=BE=1,所以DF=C1H=2.故BF==2. (2)在立体几何中,求点到平面的距离是一个常见的题型,同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离.本题采用的是“找垂面法”:即找(作)出一个过该点的平面与已知平面垂直,然后过该点作其交线的垂线,则得点到平面的垂线段.延长C1E与CB交于G,连AG,则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG.过C作CM⊥AG,垂足为M,连C1M,由三垂线定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC,且AG⊂面AEC1F,所以平面AEC1F⊥面C1MC.在Rt△C1CM中,作CQ⊥MC1,垂足为Q,则CQ的长即为C到平面AEC1F的距离. 解法2: 以D为坐标原点,分别以DA、DC、DF为x、y、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).设F(0,0,z).这种解法的好处就是:(1)解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理,因为这些可以用向量方法来解决.(2)即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出,因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可. (1)由AEC1F为平行四边形,运用向量的模的计算方法,可得BF的长度; (2)运用向量坐标运算计算点到平面的距离,可以先设出此平面的法向量,设为平面AEC1F的法向量,显然不垂直于平面ADF,故可设=(x,y,1).进一步可以求得C到平面AEC1F的距离. 解法1:(Ⅰ)过E作EH∥BC交CC1于H,则CH=BE=1,EH∥AD,且EH=AD. 又∵AF∥EC1,∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1.∴DF=C1H=2.∴BF==2. (Ⅱ)延长C1E与CB交于G,连AG, 则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG. 过C作CM⊥AG,垂足为M,连C1M, 由三垂线定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC,且 AG⊂面AEC1F,所以平面AEC1F⊥面C1MC.在Rt△C1CM中,作CQ⊥MC1,垂足为Q,则CQ的长即为C到平面AEC1F的距离. 由=可得,BG=1,从而AG==. 由∠GAB=∠MCG知,CM=3cosMCG=3cosGAB=3×=,∴CQ=== 解法2:(I)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).设F(0,0,z). ∵AEC1F为平行四边形,∴由AEC1F为平行四边形,∴由=得,(-2,0,z)=(-2,0,2),∴z=2.∴F(0,0,2).∴=(-2,-4,2).于是||=2,即BF的长为2. (II)设为平面AEC1F的法向量,显然不垂直于平面ADF,故可设=(x,y,1). ⇒即∴ 又=(0,0,3),设与的夹角为a,则cosα==. ∴C到平面AEC1F的距离为d=||cosα=3×=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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