Question

等比数列{a_n}的公比为q，第8项是第2项与第5项的等差中项．
（1）求公比q；
（2）若{a_n}的前n项和为S_n，判断S₃，S₉，S₆是否成等差数列，并说明理由．

Answer

（1）本题已知等比数列的公比为q，第8项是第2项与第5项的等差中项，故直接建立起关于公比的方程，通过解方程求公比即可．
（2）用首项与公比表示出S3，S9，S6，直接验证三者是否符合等差数列的性质即可．
【解析】
（1）由题可知，2a8=a2+a5，
即2a1q7=a1q+a1q4，
由于a1q≠0，化简得2q6=1+q3，即2q6-q3-1=0，
解得q3=1或．所以q=1或．
（2）当q=1时，不能构成等差数列，当当即时，三都可以构成等差数列，证明如下：
当q=1时，S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1．
易知S3，S9，S6不能构成等差数列．
当即时，，，
．
验证知S3+S6=2S9，所以S3，S9，S6能构成等差数列．