Question

椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，短轴两端点B₁、B₂，已知F₁、F₂、B₁、B₂四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为5．
（1）求此时椭圆C的方程；
（2）设斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P（0，）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．

Answer

（1）由F1、F2、B1、B2四点共圆，得出b=c，进而得到a2=b2+c2=2b2，再设椭圆的方程（含参数b），设H（x，y）为椭圆上一点，化简点（0，3）到椭圆上的点的距离，利用其最大值，分类讨论求出参数b的值，即得椭圆的方程．
（2）设直线L的方程为y=kx+m，代入．由直线l与椭圆相交于不同的两点可得△＞0即m2＜32k2+16，要使A、B两点关于过点P、Q的直线对称，必须，利用方程的根与系数的关系代入得，从而可求k得范围
【解析】
（1）∵F1、F2、B1、B2四点共圆，
∴b=c，
∴a2=b2+c2=2b2，
设椭圆的方程为，N（0，3）
设H（x，y）为椭圆上一点，则|HN|2=x2+（y-3）2=-（y+3）2+2b2+18，（-b≤y≤b），
①若0＜b＜3，|HN|2的最大值b2+6b+9=50得 （舍去），
②若b≥3，|HN|2的最大值2b2+18=50得b2=16，
∴所求的椭圆的方程为：．
（2）设直线L的方程为y=kx+m，代入得（1+2k2）x2+4kmx+（2m2-32）=0．
由直线l与椭圆相交于不同的两点知△=（4km）2-4（1+2k2）（2m2-32）＞0，
m2＜32k2+16．②
要使A、B两点关于过点P、Q的直线对称，必须
设A（x1，y1）B（x2，y2），则，
∵
解得．③
由②、③得
∴，
∵k2＞0，
∴
∴或0
故当或0时，A、B两点关于过点P、Q的直线对称．