Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₅+a₁₃=34，S₃=9．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和公式；
（2）是否存在正整数m，使得a₁，a_m，a₄₀成等比数列？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设等差数列{an}的公差为d，由a5+a13=34，S3=9得，由此能求出数列{an}的通项公式及前n项和公式．
（2）要使a1，am，a40成等比数列，必须（2m-1）2=1×（2×40-1）=79，因为79不是完全平方数，故不存在正整数m，使得a1，am，a40成等比数列．
【解析】
（1）设等差数列{an}的公差为d，
∵a5+a13=34，S3=9．
∴，…（2分）
即，
得：a1=1，d=2，…．（4分）
故an=2n-1，，…（6分）
（2）要使a1，am，a40成等比数列，
必须，
即（2m-1）2=1×（2×40-1）=79，…..（9分）
因为79不是完全平方数，故方程（2m-1）2=79无正整数解，
因此不存在正整数m，
使得a1，am，a40成等比数列…．（12分）