Question

函数的定义域为M，函数f（x）=4^x+a•2^x+1+2（x∈M）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的值域；
（2）求函数f（x）的最小值．

Answer

（1）要使函数有定义，被开方数应大于或等于0，解不等式-x2+4x-3≥0 求出M，对函数f（x）=4x+a•2x+1+2，利用换元法令t=2x，转化为二次函数解决．
（2）f（x）=g（t）=t2+2at+2=（t+a）2+1-a2，开口向上，对称轴t=-a，分-a≤2，2＜-a＜8，-a≥8三类求解．
【解析】
（1）要使函数有定义，则-x2+4x-3≥0即（x-1）（x-3）≤0，1≤x≤3，（1分）
∴M={x|1≤x≤3}．（2分）
当a=1时，令t=2x，则2≤t≤8，（3分）
f（x）=g（t）=t2+2t+2=（t+1）2+1开口向上，对称轴t=-1，（4分）
∴g（t）在t∈[2，8]上单调递增，
∴g（2）≤g（t）≤g（8）
即10≤g（t）≤82，（6分）
∴函数f（x）的值域为[10，82]．（7分）
（2）由（1）有，令t=2x（2≤t≤8），
f（x）=g（t）=t2+2at+2=（t+a）2+1-a2开口向上，对称轴t=-a（8分）
①当-a≤2，即a≥-2时，g（t）在t∈[2，8]上单调递增，∴g（t）min=g（2）=6+4a（10分）
②当2＜-a＜8，即-8＜a＜-2时，∴g（t）min=g（-a）=1-a2（12分）
③当-a≥8，即a≤-8时，g（t）在t∈[2，8]上单调递减，∴g（t）min=g（8）=66+16a（14分）