Question

已知二面角α-l-β，点A∈α，B∈β，AC⊥l于点C，BD⊥l于D，且AC=CD=DB=1，求证：AB=2的充要条件α-l-β=120．

Answer

由已知中当α-l-β=120°时，我们不妨令，易得，进而结合AC=CD=DB=1，可证得AB=2，即，从而证得充分性；反之，我们也可是证得当AB=2，即时，可得，进而根据二面角α-l-β为钝二面角，可得α-l-β=120°，即证得必要性．
证明：充分性：
设，
∵AC=CD=DB=1，
∴，
又∵AC⊥l于点C，BD⊥l于D
∴，
∴
∴，
必要性：∵
又，
∴
∴
即α-l-β=120°