Question

动点P到两定点A（a，0），B（-a，0）连线的斜率的乘积为k，试求点P的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线？

Answer

由题设知直线PA与PB的斜率存在且均不为零，所以，由此能够导出动点P的轨迹C的方程．再对k值进行分类讨论：当k＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）；当-1＜k＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴两个端点）；当k=-1时，轨迹C为以原点为圆心，1的半径的圆除去点（-1，0），（1，0）；当k＜-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）．
【解析】
由题设知直线PA与PB的斜率存在且均不为零
所以，
整理得，点P的轨迹方程为kx2-y2=ka2（x≠±a）；
①当k＞0，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线（除去A，B两点）
②当k=0，点P的轨迹是x轴（除去A，B两点）
③当-1＜k＜0时，点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆（除去A，B两点）
④当k=-1时，点P的轨迹是圆（除去A，B两点）
⑤当k＜-1时，点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆（除去A，B两点）