Question

设函数f（x）=-x（x-a）²（x∈R），其中a∈R．
（1）、当f（x）奇函数时求a的值
（2）、当a=1时，求曲线y=f（x）过点（0，f（0））的切线方程；（4分）
（3）、当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；（6分）

Answer

（1）根据f（x）为奇函数，可得f（-x）=-f（x），代入化简可得a的值；
（2）当a=1时，f（x）=-x（x-1）2=-x3+2x2-x，得f（0）=0，且f'（x）=-3x2+4x-1，设切点（x，-x（x-1）2）
可得切线方程y+x（x-1）2=（-3x2+4x-1）（x-x），将（0，0）代入，即可求得所求的切线方程；
（3）求导函数，并令f'（x）=0，解得或x=a．对a分两种情况讨论，利用函数在导数为0的附近，导数的符号变化，从而确定函数f（x）的极小值与极大值．
【解析】
（1）∵f（x）为奇函数
∴f（-x）=-f（x），
∴x（-x-a）2=x（x-a）2
∵x∈R
∴（-x-a）2=（x-a）2恒成立
∴a=0
（2）当a=1时，f（x）=-x（x-1）2=-x3+2x2-x，得f（0）=0，且f'（x）=-3x2+4x-1，
设切点（x，-x（x-1）2）
所以，切线方程y+x（x-1）2=（-3x2+4x-1）（x-x）
因为（0，0）在曲线上代入求得
所以所求的切线方程为：y=-x；y=0；．
（3）f（x）=-x（x-a）2=-x3+2ax2-a2x
f'（x）=-3x2+4ax-a2=-（3x-a）（x-a）．
令f'（x）=0，解得或x=a．
由于a≠0，以下分两种情况讨论．
（1）若a＞0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

x a （a，+∞）
f'（x） - + -

因此，函数f（x）在处取得极小值，且；
函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0．
（2）若a＜0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

x （-∞，a） a
f'（x） - + -

因此，函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且f（a）=0；
函数f（x）在处取得极大值，且．