Question

如图，平面EAD⊥平面ABFD，△AED为正三角形，四边形ABFD为直角梯形，且∠BAD=90°，AB∥DF，AD=a，AB=a，DF=． 
（I）求证：EF⊥FB；
（II）求直线EB和平面ABFD所成的角．

Answer

（I）过点E向AD引垂线交AD于点O，根据△AED为正三角形以及平面EAD⊥平面ABFD可得EO⊥平面ABFD；先连接OF，求出OF，BF，OB的平方，得到OF⊥FB；再结合EO⊥FB，证得FB⊥平面EOF即可得到EF⊥FB；
（II）根据（I）得EO⊥平面ABFD，可得直线EB和平面ABCD所成的角为∠EBO．再RT△EOB中求出任意两边长即可求直线EB和平面ABFD所成的角．
【解析】
（I）过点E向AD引垂线交AD于点O，根据△AED为正三角形以及平面EAD⊥平面ABFD
可得EO⊥平面ABFD
连接OF，则，，，
所以OB2=OF2+FB2，即OF⊥FB．  ①
又因为EO⊥平面ABFD
所以EO⊥FB，②
所以FB⊥平面EOF，得EF⊥FB．（5分）
（II）由（I）得，EO⊥平面ABFD，
则直线EB和平面ABCD所成的角为∠EBO．
因为，，得，
所以，即．（10分）