Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方体，求：
（1）直线AC₁与平面AA₁B₁B所成角的正切值；
（2）二面角B-AC₁-B₁的大小．

Answer

（1）先根据其为正方体得到∠C1AB1就是AC1与平面AA1B1B所成的角；然后在RT△C1AB1中求其正切即可；
（2）先过B1作B1E⊥BC1于E，过E作EF⊥AC1于F，连接B1F；根据AB⊥平面B1C1CB推得B1E⇒AC1；进而得到∠B1FE是二面角B-AC1-B1的平面角；然后通过求三角形的边长得到二面角B-AC1-B1的大小即可．
【解析】
（1）连接AB1，∵ABCD-A1B1C1D1是正方体
∴B1C1⊥平面ABB1A1，AB1是AC1在平面AA1B1B上的射影
∴∠C1AB1就是AC1与平面AA1B1B所成的角
在RT△C1AB1中，tan∠C1AB1==
∴直线AC1与平面AA1B1B所成的角的正切值为
（2）过B1作B1E⊥BC1于E，过E作EF⊥AC1于F，连接B1F；
∵AB⊥平面B1C1CB，⇒AB⊥B1E⇒B1E⇒平面ABC1⇒B1E⇒AC1
∴∠B1FE是二面角B-AC1-B1的平面角
在RT△BB1C1中，B1E=C1E=BC1=，
在RT△ABC1中，sin∠BC1A==
∴EF=C1E•sin∠BC1A=，
∴tan∠B1FE==
∴∠B1FE=60°，即二面角B-AC1-B1的大小为60°．