Question

已知点P是双曲线右支上一点，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF₁F₂的内心，若成立，则双曲线的离心率为（ ）
A．4
B．
C．2
D．

Answer

设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，可得△IF1F2，△IPF1，△IPF2可看作三个高相等且均为圆I半径r的三角形．利用三角形面积公式，代入已知式，化简可得|PF1|-|PF2|=，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率．
【解析】
如图，设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，
则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，它们分别是△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，
∴，
，其中r是△PF1F2的内切圆的半径．
∵
∴=+
两边约去得：|PF1|=|PF2|+
∴|PF1|-|PF2|=
根据双曲线定义，得|PF1|-|PF2|=2a，=c
∴2a=c⇒离心率为e=
故选C