Question

如图，在四边形ABCD中，CA=CD=AB=1，=1，sin∠BCD=．
（1）求BC的长；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）求sinD的值．

Answer

（1）根据题意可分别求得AC，CD和AB，利用=1，利用向量的数量积的性质求得cos∠BAC的值，进而求得∠BAC，进而利用余弦定理求得BC的长．
（2）根据（1）可求得BC2+AC2=AB2．判断出∴∠ACB=，进而在直角三角形中求得cos∠ACD的值，利用同角三角函数的基本关系气的sin∠ACD，然后利用三角形面积公式求得三角形ABC和ACD的面积，二者相加即可求得答案．
（3）在△ACD中利用余弦定理求得AD的长，最后利用正弦定理求得sinD的值．
【解析】
（1）由条件，得AC=CD=1，AB=2．
∵=1，∴1×2×cos∠BAC=1．则cos∠BAC=．
∵∠BAC∈（0，π），∴∠BAC=．
∴BC2=AB2+AC2-2AB•ACcos∠BAC=4+1-2×2×=3．
∴BC=．
（2）由（1）得BC2+AC2=AB2．
∴∠ACB=．
∴sin∠BCD==．
∵∠ACD∈∈（0，π），∴．
∴S△ACD=×1×1×=．
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=．
（3）在△ACD中，
AD2=AC2+DC2-2AC•DCcos∠ACD=1+1-2×1×1×=．
∴AD=．
∵，
∴．