Question

已知抛物线C的顶点在原点，焦点为（0，1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知直线l₁：y=kx+b（b＞0）交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N．是否存在实数k，使点N在以AB为直径的圆上？若存在，求出k的所有的值；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）设抛物线C的方程是x2=ay，根据焦点为F的坐标求得a，进而可得抛物线的方程；
（Ⅱ）将y=kx+b与x2=4y联立，设A（xA，yA），B（xB，yB），利用韦达定理得到xA+xB=4k，xAxB=-4b，结合题意可求
N（2k，k2），N在以AB为直径的圆上⇔=0，最后可得到3k2+（4-b）=0，对b讨论即可．
【解析】
（Ⅰ）设抛物线C的方程是x2=ay，
则=1，即a=4．
故所求抛物线C的方程为x2=4y． （5分）
（Ⅱ）将y=kx+b代入x2=4y得 x2-4kx-4b=0，
设A（xA，yA），B（xB，yB），则xA+xB=4k，xAxB=-4b，（7分）
xN=xM==2k，代入x2=4y得yN=k2，所以N（2k，k2），
∵N在以AB为直径的圆上，=（xA-2k，yA-k2），=（xB-2k，yB-k2），
∴=0；
∴（xA-2k）（xB-2k）+（yA-k2）（yB-k2）=0，（10分）
即（xA-2k）（xB-2k）+（-k2）（-k2）=0，
即（xA-2k）（xB-2k）[1+（xA+2k）（xB+2k）]=0，
∵（xA-2k）（xB-2k）=xAxB-2k（xA+xB）+4k2=-4b-4k2=-4（b+k2），
由于b＞0，
∴（xA-2k）（xB-2k）=-4（b+k2）＜0，
∴1+（xA+2k）（xB+2k）=+++1=0，
即：3k2+（4-b）=0…（13分）
所以，当b≥4时，存在实数k=±；当b＜4时，不存在实数k．  （15分）