Question

某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间进行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，根据以往经验，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛输赢互不影响．若甲第n局的得分记为a_n，令S_n=a₁+a₂+…+a_n
（Ⅰ）求S₃=5的概率；
（Ⅱ）若ξ=S₂，求ξ的分布列及数学期望．

Answer

（I）S3=5，即前3局甲2胜1平．由已知甲赢的概率为，平的概率为，输的概率为，能求出S3=5的概率．
（II）由题设知，ξ=0，1，2，3，4．P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=+=，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=．由此能求出ξ的分布列及数学期望．
【解析】
（I）S3=5，即前3局甲2胜1平．  （1分）
由已知甲赢的概率为，平的概率为，输的概率为，
所以S3=5的概率为．（5分）
（II）由题设知，ξ=0，1，2，3，4
P（ξ=0）=，
P（ξ=1）=，
P（ξ=2）=+=，
P（ξ=3）=，
P（ξ=4）=．
∴ξ的分布列

ξ 1 2 3 4
P

∴Eξ=．（5分）